גאומטריה לא אוקלידית

גאומטריה

לא אוקלידית

פרופ' אילון סולן

בית הספר למדעי המתמטיקה

אוניברסיטת תל אביב

בית הספר למדעי המתמטיקה

גאומטריה לא אוקלידית

כתיבה: פרופ׳ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה, אוניברסיטת תל אביב

מנהל פרויקט כדאי לדעת: פרופ' אילון סולן

עריכת לשון: ד״ר דנה ברעם

ריכוז אדמיניסטרטיבי: גלית הרצברג

עיצוב גרפי ועימוד: ניצן-שמיר מעצבים

איור עטיפה: shutterstock

כתובת אתר כדאי לדעת: goodtoknow.tau.ac.il

אנו מודים לפרופ' דוד גילת שקרא גרסה מוקדמת של החוברת והציע שיפורים שונים, למורה בטי כהן מחטיבת הביניים "שמואל הנגיד" ולתלמידי כיתות ט3 ו-ט4 שקראו גרסה מוקדמת של החוברת, פתרו את השאלות והעירו הערות רבות ששיפרו אותה.

זכויות הקניין הרוחני, לרבות זכויות היוצרים והזכות המוסרית של היוצרים בחומר זה, מוגנות.

השימוש בחוברות, שמירתן במאגרי מידע והפצתן מותר לצורך שימוש לא מסחרי בלבד. בעת שמירה במאגרי מידע, יש לציין במפורש שהחוברת שייכת לפרויקט ״כדאי לדעת״ ולצרף קישור לאתר הפרויקט. השימוש לכל מטרה מסחרית וליצירה של חומרים נגזרים אסור ללא קבלת רשות מפורשת בכתב מהנהלת הפרויקט.

תוכן

מבוא: גאומטריה לא אוקלידית 4

1. מהו מישור 6

1.1. נקודות וישרים 6

1.2. חוקי מישור 8

2. מישורים סופיים 11

2.1. מישור הכיתה 11

2.2. מישורים פרויקטיביים 15

3. המישור הכדורי 21

3.1. קווי אורך וקווי רוחב 21

3.2. נקודות וישרים במישור הכדורי 26

3.3. בדיקת קיום חוקי המישור 29

4. זוויות, משולשים וירחים במישור הכדורי 32

4.1. חישוב זווית על כדור 32

4.2. משולשים 33

4.3. ירחים 35

4.4. שטחו של S-משולש 36

5. המישור ההיפרבולי 40

6. סיכום 42

7. נספח: חוקי מישור 43

8. תשובות לשאלות 44

מבוא: גאומטריה לא אוקלידית

מקורה של המילה גאומטריה הוא מיוונית. "גאו" ביוונית משמעו "ארץ" ו-"מֶטְרִיָּה" משמעו "מדידה". מטרת הגאומטריה היא לתת תיאור של הארץ ולאפשר למדוד דברים שונים, כמו אורכים וזוויות.

הראשון שלמד את הנושא בשיטתיות היה אוקלידס, שנולד בשנת 371 לפני הספירה באלכסנדריה שבמצרים וחי בה עד מותו 86 שנים לאחר מכן. הוא פיתח את הגאומטריה של המישור הנלמדת בבית הספר, והיא נקראת על שמו "הגאומטריה האוקלידית". המישור מורכב מנקודות, בין כל שתי נקודות אפשר להעביר ישר, וכל שני ישרים הם מקבילים או שהם נחתכים בנקודה אחת. זווית בין שני ישרים היא מידת הסיבוב הדרושה כדי שאחד הישרים יגיע למקומו של הישר השני, כשציר הסיבוב הוא נקודת החיתוך בין שני הישרים. כמו כן, סכום הזוויות בכל משולש הוא 180 מעלות.

תמונה 1: אוקלידס. מקור: ויקיפדיה. שימוש חופשי

הגאומטריה שפיתח אוקלידס מתאימה לעולם שטוח. אבל העולם שבו אנו חיים אינו שטוח אלא כדורי, וכבר בתקופה של אוקלידס ידעו זאת. עם זאת, העולם גדול עד מאוד, וכאשר אנחנו מתבוננים בעולם שמסביבנו הוא נראה לנו כמעט שטוח. הרצפה שבביתנו שטוחה, וכך גם חלקות הקרקע שבהן בונים בניינים. לכן, אף שהגאומטריה של המישור אינה מתארת בדיוק את העולם, אפשר להשתמש בה בחיי היום-יום.

עם זאת, כאשר רוצים לתכנן נתיבי טיסה או מנהרות ארוכות, יש להביא בחשבון שהעולם אינו מישורי אלא כדורי. לכן יש לבדוק את התכונות של הגאומטריה של הכדור. הגאומטריה של המישור והגאומטריה של הכדור אינן הגאומטריות האפשריות היחידות. כיצד תיראה הגאומטריה של אנשים החיים בעולם הנראה כצמיג? והאם יכולים להיות מישורים המכילים מספר סופי של נקודות?

תמונה 2: כדור הארץ כטבעת. מקור: סרטון יוטיוב

בחוברת זו נגדיר את המושג "מישור" ונכיר מישורים שאינם אוקלידיים. בפרק 1 נגדיר את המושגים "נקודה" ו"ישר", ונבדוק מה הופך אוסף של נקודות וישרים למישור. בפרק 2 נחקור מישורים סופיים – מישורים המורכבים ממספר סופי של נקודות ושל ישרים. בפרק 3 נחקור את המישור הכדורי. בפרק 4 נלמד כיצד מחשבים זוויות ושטחים במישור הכדורי, ובהמשך נעמוד על הבדלים אחדים בין המישור האוקלידי למישור הכדורי.

1. מהו מישור

מישור מורכב מנקודות, ועוברים בו ישרים רבים. אך מהי נקודה ומהו ישר? אוקלידס הגדיר נקודה כ"דבר שאי אפשר לחלק אותו" וישר כ"קו שעליו נמצאות נקודות". הגדרות אלה אינן מסבירות מה הם נקודה וישר. בסעיף זה נגדיר את המושג מישור ונביא דוגמאות למישורים.

1.1. נקודות וישרים

נתחיל בדוגמה של המישור האוקלידי. לפנינו דף נייר. כל נקודה על הדף היא "נקודה" במישור, וכל ישר שאפשר לצייר בעזרת סרגל הוא "ישר". פורמלית, אפשר לייצג כל נקודה באמצעות הקואורדינטות שלה: נקודה היא זוג של מספרים ממשיים (x, y). בתרשים 1 תיארנו נקודות אחדות במישור האוקלידי. ישר מוגדר באמצעות שוויון לינארי. הישר y = x הוא אוסף כל הנקודות במישור ששתי הקואורדינטות שלהן שוות, והישר y = 2x + 1 הוא אוסף כל הנקודות (x, y) במישור המקיימות את השוויון y = 2x + 1. שני ישרים אלה מופיעים אף הם בתרשים 1.

תרשים 1: המישור האוקלידי: שלוש נקודות ושני ישרים

נביט עכשיו בדוגמה נוספת של נקודות וישרים, בתרשים 2. אוסף הנקודות יהיה כמו במישור האוקלידי, אך הישרים נתונים על ידי מעגלים.

תרשים 2: ישרים הנתונים באמצעות מעגלים

האם אנחנו מוכנים לקבל את ההגדרה השנייה של ישרים? כלומר, האם אנחנו חושבים שמישור שבו ישרים הם מעגלים הוא "מישור תקני"? לשם כך נשאל מה מבדיל בין שתי ההגדרות של ישרים – אוסף נקודות שפותר משוואה לינארית לעומת אוסף נקודות שפותר משוואת מעגל.

הבדל אחד הוא שבהגדרה הרגילה של ישרים, בין כל שתי נקודות עובר ישר אחד. בהגדרה של ישר כמעגל, בין כל שתי נקודות יכולים לעבור יותר משני ישרים.

בתרשים 2, הישרים (y + 2)2 + (x – 1)2 = 1 ו- (y + 1)2 + (x + 1)2 = 2 נחתכים בשתי נקודות, ולכן בין שתי נקודות אלה עוברים לפחות שני ישרים. למען האמת, עוברים ביניהם אין-סוף ישרים. האם אנחנו מוכנים לקרוא בשם "מישור" לאוסף של נקודות וישרים המקיים את הכלל "בין שתי נקודות יכול לעבור יותר מישר אחד"?

הבדל שני הוא שבהגדרה הרגילה, שני ישרים אינם נחתכים (כלומר, הם מקבילים) או שהם נחתכים בנקודה אחת. בהגדרה של ישר כמעגל, שני ישרים אינם נחתכים או שהם נחתכים בנקודה אחת (אם הם משיקים) או שהם נחתכים בשתי נקודות. האם אנחנו מוכנים לקרוא בשם "מישור" לאוסף של נקודות וישרים המקיים את הכלל "יש ישרים הנחתכים ביותר מנקודה אחת"?

אוקלידס הציע תכונות יסוד אחדות של נקודות ושל ישרים הדרושות כדי שהמבנה הנוצר מהם יהיה ראוי להיקרא "מישור". בסעיף הבא נפרט תכונות אלה.

1.2. חוקי מישור

נציג כעת את התכונות של נקודות ושל ישרים ואת יחסי הגומלין ביניהם הנדרשים כדי שהמבנה המורכב מהם יוכר כ"מישור".

תכונה 1: בין כל שתי נקודות עובר ישר.

תכונה זו מבטיחה שבמישור אין חורים: אין שתי נקודות שביניהן לא עובר ישר.

תכונה 2: על כל ישר יש לפחות שתי נקודות.

תכונה זו מבטיחה שישר אינו נקודה, שכן על כל ישר נמצאות לפחות שתי נקודות.

תכונה 3: אם שני ישרים נחתכים, הם נחתכים בנקודה אחת בלבד.

תכונה זו מבטיחה שישר הוא אכן ישר ולא קו מעוקל, שכן קווים מעוקלים יכולים להיחתך ביותר מנקודה אחת. תכונה זו גם מבטיחה שלכל שתי נקודות יש ישר אחד ויחיד העובר דרך שתיהן. אכן, אם היו שני ישרים שונים העוברים דרך אותן שתי נקודות, אזי חיתוך שני הישרים האלה היה מכיל לפחות שתי נקודות, דבר הסותר את תכונה 3.

תכונה 4: במישור יש לפחות שלוש נקודות שאינן על ישר אחד.

אם כל הנקודות במישור היו על ישר אחד, לא היה מדובר במישור אלא בישר. תכונה 4 מבטיחה שהמישור לא יהיה חד-ממדי.

כעת אנחנו יכולים להציג את ההגדרה של מישור.

הגדרה 1: מישור מורכב מקבוצה של איברים הנקראים נקודות ומקבוצה של ישרים, כאשר כל ישר הוא אוסף של נקודות. על קבוצות אלה לקיים את תכונות 1–4.

תרגיל 1: האם המישור האוקלידי הוא בעל התכונות 1–4? אם לא, אילו מהתכונות חסרות לו?

תרגיל 2: נתבונן באוסף הנקודות של המישור האוקלידי. כמו בדוגמה שראינו, את אוסף הנקודות הנמצאות על מעגל נגדיר "ישר". האם אוסף הנקודות והישרים הללו הוא בעל התכונות 1–4? אם לא, אילו מהתכונות חסרות?

הפתרונות לכל התרגילים מופיעים באתר האינטרנט של הפרויקט, www.goodtoknow.ac.il.

נסו לפתור את התרגילים בעצמכם, ולאחר סיום קריאת החוברת תוכלו לבדוק את הפתרונות שלכם.

לפני שנציג דוגמאות של מישורים נזכור כי שני ישרים שאין להם נקודה משותפת במישור הם ישרים מקבילים.

הגדרה 2: שני ישרים שאין להם נקודה משותפת במישור הם ישרים מקבילים.

המישור האוקלידי מכיל מספר אין-סופי של נקודות. בפרק הבא נראה שיש מישורים המכילים מספר סופי של נקודות. במקרה כזה, נקרא לנקודות בשמות: אלה, בוריס, גור וכן הלאה. כדי לציין את קבוצת נקודות המישור, נרשום את שמות הנקודות בין סוגריים מסולסלים: {אלה, בוריס, גור}. אם יש ישר העובר דרך הנקודות אלה וגור ולא דרך הנקודה בוריס, נסמן אותו בסוגריים מרובעים: [אלה, גור].

תרגיל 3: להלן כמה הגדרות של נקודות ושל ישרים. לכל אחת מהן, ציינו אם היא מקיימת כל אחת מהתכונות 1–4. אם לא כל התכונות מתקיימות, הביאו דוגמאות המראות זאת.

א. קבוצת הנקודות היא {אלה, בוריס, גור} ויש שלושה ישרים [אלה, בוריס], [אלה, גור]

ו-[בוריס, גור], שכל אחד מהם מכיל שתי נקודות.

ב. קבוצת הנקודות היא {אלה, בוריס, גור} ויש שלושה ישרים [אלה], [בוריס] ו-[גור], שכל אחד מהם מכיל נקודה אחת.

ג. נתון מעגל (קבוצת הנקודות שמרחקן מהמרכז קבוע). קבוצת הנקודות היא קבוצת הנקודות על המעגל. ישר הוא קטע רציף של נקודות על המעגל (קשת של המעגל) שאינו המעגל כולו (ראו תרשים 3).

תרשים 3: שני ישרים על מעגל (האחד מסומן באדום, השני בכחול)

תרגיל 4: לכל אחד מהסעיפים שבתרגיל 3, רשמו את זוגות הישרים המקבילים.

א.

ב.

ג.

תרגיל 5: הגדירו קבוצה של נקודות וקבוצה של ישרים המקיימים את תכונות 1, 2 ו-4 אך אינם מקיימים את תכונה 3.

הנקודות הן:

הישרים הם:

חוקי המישור שהבאנו כאן מתקיימים בכל מישור, וכמובן גם במישור האוקלידי – המישור הרגיל שאנחנו מכירים ואוהבים. עם זאת, במישור האוקלידי מתקיימות תכונות נוספות. למשל: בין כל שתי נקודות במישור יש נקודה נוספת במישור. מתכונה זו נובע שבמישור האוקלידי יש מספר אין-סופי של נקודות. בהגדרת מישור תכונה זו איננה תכונה נדרשת, ולכן יש מישורים שבהם מספר הנקודות סופי, כפי שראינו בתרגיל 3א.

2. מישורים סופיים

במישור האוקלידי יש אין-סוף נקודות ואין-סוף ישרים. האם יכול להיות מישור שבו יש מספר סופי של נקודות ושל ישרים? כפי שראינו בדוגמה הראשונה בתרגיל 3, התשובה חיובית. למען האמת, יש מישורים רבים שבהם מספר הנקודות והישרים סופי. מישור כזה נקרא כצפוי מישור סופי.

2.1. מישור הכיתה

נניח שלפנינו כיתה קטנה שבה ארבעה תלמידים: אירית, בר, גליה ודני. נבנה מישור שיש בו ארבע נקודות – כל תלמיד בכיתה הוא נקודה. כדי להשלים את בניית המישור יש לציין את הישרים. במישור שלנו, כל זוג תלמידים ירכיבו ישר. כלומר, יש 6 ישרים:

• הישר [אירית, בר].

• הישר [אירית, גליה].

• הישר [אירית, דני].

• הישר [בר, גליה].

• הישר [בר, דני].

• הישר [גליה, דני].

בתרשים 4 מתואר המישור בצורה גרפית.

תרשים 4: מישור כיתה המכיל 4 נקודות ו-6 ישרים

שימו לב: אף שבתרשים 4 הישרים [אירית, דני] ו-[בר, גליה] חותכים זה את זה, הרי הם אינם נחתכים במישור, שכן אין נקודה במישור הנמצאת במקום החיתוך: במישור יש ארבע נקודות – ארבעת התלמידים בכיתה, ואין תלמיד הנמצא הן על הישר [אירית, דני] הן על הישר [בר, גליה]. לכן ישרים אלו הם ישרים מקבילים.

במישור הכיתה המתואר בתרשים 4 כל הישרים הם קווים ישרים. אנחנו יכולים לתאר את אותו מישור בצורה גרפית גם בעזרת קווים שאינם ישרים. שתי דוגמאות מופיעות בתרשים 5.

תרשים 5: שתי הצגות נוספות של מישור כיתה המכיל 4 נקודות ו-6 ישרים

הדבר החשוב בהצגה הגרפית של מישור הוא שכל ישר אכן יעבור דרך הנקודות שהוא אמור לעבור דרכן. מכיוון שבהצגה הגרפית של מישור הכיתה הנקודות הן הריבועים שבתוכם רשומים שמות הילדים, יש לוודא שכל ישר יחבר את הילדים שהוא מכיל. המסלול שעובר הישר על הדף אינו חשוב, כל עוד הוא אכן מחבר את הילדים המתאימים.

נבדוק אם התכונות הנדרשות ממישור מתקיימות במישור שמופיע בתרשים 4.

• בין כל שתי נקודות עובר ישר: תכונה זו מתקיימת, שכן כל שני תלמידים מהווים ישר.

• על כל ישר יש לפחות שתי נקודות: תכונה זו מתקיימת, שכן על כל ישר יש בדיוק שתי נקודות.

• כל שני ישרים נחתכים בנקודה אחת לכל היותר: כל ישר מכיל בדיוק שני תלמידים, ולכן לא יכולים להיות שני ישרים שונים שעוברים דרך אותן שתי נקודות.

• יש לפחות שלוש נקודות שאינן על ישר אחד: גם תכונה זו מתקיימת שכן כל ישר מכיל רק שתי נקודות.

• נזכור ששני ישרים הם ישרים מקבילים אם אינם מכילים נקודה משותפת. האם יש במישור שלנו ישרים מקבילים? בוודאי! כבר אמרנו שהישר [אירית, דני] מקביל לישר [בר, גליה]. כמו כן, הישר [אירית, בר] והישר [גליה, דני] הם ישרים מקבילים, שכן אין תלמיד הנמצא בשניהם. מאותה סיבה גם הישר [אירית, גליה] מקביל לישר [בר, דני].

תרגיל 6: נתבונן בכיתה שיש בה חמישה ילדים – הילה, ויקטור, זיוה, חי וטנא.

א) אוסף נקודות הוא ישר אם הוא מכיל בדיוק שני ילדים. רשמו את אוסף הישרים.

ב) הציגו את הנקודות ואת הישרים בצורה גרפית.

ג) האם באוסף הישרים שבסעיף א יש ישרים מקבילים? אם כן, כמה זוגות של ישרים מקבילים?

תרגיל 7: נתבונן בכיתה שיש בה ארבעה ילדים – חן, טל, יריב וכרמל. נגדיר נקודות וישרים כך:

• כל תלמיד מהווה נקודה.

• כל קבוצה של שלושה תלמידים מהווה ישר.

א) הציגו את הנקודות ואת הישרים בצורה גרפית. שימו לב: ישר המכיל שלוש נקודות יכול להיות עקום ויכול גם להתעקל.

ב) רשמו את כל הישרים.

ג) האם הגדרה זו של נקודות וישרים מקיימת את כל הדרישות ממישור? אם לא, אילו דרישות אינן מתקיימות?

2.2. מישורים פרויקטיביים

במישור, כל זוג ישרים יכול להיחתך או לא להיחתך. כזכור, ישרים שאינם נחתכים נקראים ישרים מקבילים. מישור שאין בו ישרים מקבילים נקרא מישור פרויקטיבי, ובאנגלית – projective plane.

הגדרה 3: מישור נקרא מישור פרויקטיבי אם כל שני ישרים שבו נחתכים, כלומר אם לכל שני ישרים יש נקודה משותפת.

בתרגיל 3א פגשנו מישור פרויקטיבי בן שלוש נקודות. בסעיף זה נכיר מישורים פרויקטיביים נוספים ונבדוק תכונות שונות שלהם.

תרגיל 8: נסתכל בכיתה שיש בה חמישה ילדים – צבי, קובי, רווית, שי ותמר. נניח שיש חמישה ישרים, אחד מהם עובר דרך ארבע נקודות וארבעה עוברים דרך שתי נקודות. הישרים הם:

• ישר ראשון: [צבי, קובי, רווית, שי]

• ישר שני: [צבי, תמר]

• ישר שלישי: [קובי, תמר]

• ישר רביעי: [רווית, תמר]

• ישר חמישי: [שי, תמר]

בתרשים 6 מוצגים נקודות וישרים אלה בצורה גרפית.

תרשים 6: חמש נקודות והישרים ביניהן

האם חמש הנקודות וחמשת הישרים האלה מגדירים מישור? אם לא, ציינו אילו מהדרישות להגדרה של מישור אינן מתקיימות. אם כן, האם המישור שנוצר הוא מישור פרויקטיבי?

הכלילו את הבנייה: הציגו מישור פרויקטיבי המכיל תשע נקודות, שבו יש ישר העובר דרך תשע הנקודות.

בדוגמה הבאה נראה מישור פרויקטיבי המכיל שבע נקודות ואינו חלק ממשפחת המישורים שבנינו בתרגיל 8.

דוגמה 1: יש שבע נקודות: אביבית, בר, גיל, דור, הילה, ורד וזיו. יש גם שבעה ישרים, שכל אחד מהם עובר דרך שלוש נקודות (ראו תרשים 7).

תרשים 7: שבע נקודות וישרים העוברים בהן

הישרים הם:

• הישר [אביבית, בר, גיל].

• הישר [אביבית, דור, זיו].

• הישר [אביבית, הילה, ורד].

• הישר [גיל, דור, הילה].

• הישר [בר, הילה, זיו].

• הישר [גיל, ורד, זיו].

• הישר [בר, דור, ורד].

קל לוודא ששבע הנקודות ושבעת הישרים שבדוגמה זו מקיימים את התכונות 1–4 של מישור, ולכן הנקודות והישרים בתרשים 7 מהווים מישור. נוסף על כך, קל לוודא שכל זוג ישרים נחתכים, ולכן מישור זה הוא מישור פרויקטיבי.

במישור הפרויקטיבי בן שבע הנקודות, כל הישרים הכילו מספר זהה של נקודות. במישור הפרויקטיבי שבתרגיל 8, אחד הישרים הכיל ארבע נקודות וכל שאר הישרים הכילו שתי נקודות. מתי שני ישרים במישור פרויקטיבי יכילו אותו מספר נקודות? מסתבר שכמעט תמיד.

משפט 1: יהי נתון מישור פרויקטיבי המכיל מספר סופי של נקודות, ויהיו L1 ו-L2 שני ישרים במישור. אם יש נקודה y שאינה נמצאת ב-L1 וגם לא ב-L2, אזי מספר הנקודות על הישר L1 שווה למספר הנקודות על הישר L2.

לפני שנפנה להוכיח את המשפט, נבדוק אותו בשתי הדוגמאות של מישורים פרויקטיביים שראינו. במישור הפרויקטיבי מתרגיל 8 יש חמש נקודות. לכל שני ישרים שמכילים שתי נקודות, למשל, [צבי, תמר] ו-[צבי, שי], יש נקודה שאינה נמצאת על שניהם – רווית. לפי משפט 1, בשני הישרים יש אותו מספר של נקודות. ואכן, שני הישרים מכילים שתי נקודות.

לעומת זאת, הישר [צבי, קובי, רווית, שי] והישר [קובי, תמר] מכסים את כל נקודות המישור – אין אפילו נקודה אחת שאינה נמצאת על אחד מהם. לכן אי אפשר להפעיל את משפט 1, ואי אפשר להסיק ששני הישרים מכילים מספר זהה של נקודות. ובאמת, הישרים מכילים מספר שונה של נקודות.

בדוגמה 1 יש שבע נקודות וכל ישר מכיל שלוש נקודות, ולכן לכל זוג ישרים יש נקודה (למען האמת, שתי נקודות) שאינה נמצאת עליהם – לא על זה ולא על זה. לדוגמה, הנקודות דור וזיו אינן נמצאות על הישרים [אביבית, בר, גיל] ועל [אביבית, ורד, הילה]. לפי משפט 1 אפשר להסיק שבכל הישרים במישור זה יש אותו מספר נקודות. ואכן, בדוגמה זו על כל ישר יש שלוש נקודות.

ההוכחה של משפט 1 (ושל משפט 2, שיוצג עוד מעט) היא מורכבת. אם אינכם מבינים אותה, דלגו עליה והמשיכו לקרוא את החוברת.

הוכחה של משפט 1: כדי להראות שעל שני הישרים L1 ו- L2 יש את אותו מספר נקודות, נוכיח כי מספר הנקודות על הישר L2 גדול ממספר הנקודות על הישר L1 או שווה לו. באמצעות החלפת התפקידים של הישרים L1 ו- L2 נסיק כי מספר הנקודות על הישר L1 גדול ממספר הנקודות על הישר L2 או שווה לו. משתי עובדות אלה נסיק כי מספר הנקודות בשני הישרים שווה.

נסמן ב-K את מספר הנקודות על הישר L1, וב-x1, x2, …, xk את כל הנקודות על ישר זה. נוכיח כי מספר הנקודות על הישר L2 גדול מ-K או שווה לו. כזכור, הנחת המשפט אומרת שיש נקודה y שאיננה נמצאת על L1 וגם לא על L2.

נבחר את אחת הנקודות xk על הישר L1. מתכונה 1, יש ישר העובר דרך הנקודות xk ו-y. מתכונה 3, יש ישר יחיד העובר דרך שתי נקודות אלה. נסמן ישר זה ב-L[k] (ראו תרשים 8). מכיוון שמדובר במישור פרויקטיבי שבו כל שני ישרים נחתכים, הישר L[k] חותך את הישר L2. מתכונה 3, החיתוך של הישרים L[k] ו-L2 הוא נקודה אחת בלבד, שנסמן אותה zk.

תרשים 8: הבנייה בהוכחה של משפט 1 עבור K=5

נראה שאם התחלנו משתי נקודות שונות על הישר L1, נאמר x1 ו-x2, אזי הנקודות z1 ו-z2 שהתקבלו על הישר L2 שונות זו מזו. מתכונה 3, הנקודה z1 היא נקודת החיתוך היחידה של הישרים L2 ו-L[1]. מאותה תכונה, הנקודה z2 היא נקודת החיתוך היחידה של הישרים L2 ו-L[2]. הישרים L[1] ו-L[2] הם ישרים שונים, משום שהישר L[1] מכיל את הנקודה x1 ולא את הנקודה x2, בעוד הישר L[2] מכיל את הנקודה x2 ולא את הנקודה x1. אם הנקודות z1 ו-z2 היו אותה נקודה, אזי שני ישרים היו עוברים דרך y ו- z1, אך דבר זה סותר את תכונה 3.

הראינו, אם כן, שעל הישר L2 נמצאות לפחות K נקודות, ולכן מספר הנקודות הנמצאות על הישר L2 הוא לפחות מספר הנקודות הנמצאות על הישר L1, וזה מה שרצינו להראות.

בעזרת משפט 1 אנחנו יכולים לספור את מספר הנקודות במישור פרויקטיבי.

משפט 2: יהי נתון מישור פרויקטיבי המכיל מספר סופי של נקודות, ויהיו L1 ו-L2 שני ישרים במישור. נניח שיש נקודה y שאינה נמצאת ב-L1 וגם לא ב-L2, ונסמן ב-K את מספר הנקודות הנמצאות על הישר L1. אזי מספר הנקודות במישור הוא: K2 – K + 1.

כדי להמחיש את המשפט נחזור לדוגמה שבעמוד 16, שבה המישור מכיל שבע נקודות. נראה תחילה שהדוגמה מקיימת את תנאי משפט 2. לשם כך יש להראות שיש שני ישרים L1 ו-L2 ושיש נקודה שאינה נמצאת על L1 וגם לא על L2. ואכן, הנקודה הילה אינה נמצאת על הישר [אביבית, בר, גיל] ועל הישר [אביבית, דור, זיו]. בדוגמה 1 כל ישר מכיל K=3 נקודות. על פי משפט 2, מספר הנקודות במישור הוא 32 – 3 + 1 = 7.

הוכחה של משפט 2: כפי שעשינו בהוכחה של משפט 1, נסמן ב-x1, x2, …, xk את כל הנקודות על הישר L1, ולכל אחת מהנקודות נעביר את הישר העובר בינה לבין y (ראו תרשים 9). נסמן ב-L[k] את הישר העובר בנקודות xk ו-y.

תרשים 9: הבנייה בהוכחה של משפט 2 עבור K=5

אנו טוענים שכל הנקודות במישור נמצאות על אחד מהישרים הללו. נניח בשלילה שיש נקודה a שאינה נמצאת על שום ישר מהישרים L[1], L[2], …, L[k]. (ראו תרשים 9). מתכונה 1, יש ישר העובר דרך הנקודות y ו-a. נקרא לישר זה M. מכיוון שהמישור פרויקטיבי, הישר M חותך את הישר L1. נקודת החיתוך נמצאת על הישר L1, ולכן היא אחת הנקודות x1, x2, …, xk. נניח שנקודת החיתוך היא x1. קיבלנו שהישר M עובר דרך שתי נקודות הנמצאות על הישר L[1]: הנקודות y ו-x1. מתכונה 3 נובע כי הישרים M ו-L[1] הם אותו ישר. אך מכך נובע שהנקודה a נמצאת על הישר L[1], וזוהי סתירה להנחה שהנקודה a אינה נמצאת על שום ישר מהישרים L[1], L[2], …, L[k]. סתירה זו מעידה שהנחת השלילה איננה נכונה, כלומר – כל הנקודות במישור נמצאות על אחד מהישרים L[1], L[2], …, L[k].

למעט הנקודה y, הנמצאת על כל הישרים L[1], L[2], …, L[k], כל נקודה אחרת במישור נמצאת רק על אחד הישרים. על כל אחד מהישרים האלה יש K נקודות – הנקודה y ו-(K-1) נקודות אחרות. מכאן, מספר הנקודות במישור הוא K(K-1) + 1 = K2 – K + 1,

וזה מה שרצינו להוכיח.

בסעיף זה מצאנו שתי משפחות של מישורים פרויקטיביים. המשפחה הראשונה כללה מישורים פרויקטיביים שבהם יש ישר העובר דרך כל הנקודות למעט אחת, וישרים רבים שעברו דרך שתי נקודות. המשפחה השנייה כללה מישורים פרויקטיביים שבהם מספר הנקודות זהה על כל הישרים.

מתברר שכל מישור פרויקטיבי עם מספר סופי של נקודות נמצא באחת משתי המשפחות הללו – אין מישורים פרויקטיביים מסוגים אחרים.

משפט 2 אומר שמספר הנקודות במישור פרויקטיבי מהמשפחה השנייה הוא K2 – K + 1. האם לכל מספר טבעי K קיים מישור פרויקטיבי מהמשפחה השנייה המכיל K2 – K + 1 נקודות? התשובה לכך שלילית. מתברר שרק כאשר K הוא מספר ראשוני קיים מישור פרויקטיבי מהמשפחה השנייה, המכיל K2 – K + 1 נקודות.

התרגיל הבא הוא תרגיל קשה. נסו לפתור אותו רק אם הבנתם היטב את ההוכחות של משפטים 1 ו-2.

תרגיל 9: נתבונן במישור פרויקטיבי מהמשפחה השנייה, המכיל K2 – K + 1 נקודות. הוכיחו כי דרך כל נקודה במישור עוברים בדיוק K ישרים.

3. המישור הכדורי

כמו שמשתמע משמו, כדור הארץ הוא כדור ואינו שטוח. בגאומטריה של המישור אנו לומדים בין השאר מהם ישרים וכיצד לחשב מרחקים וזוויות במישור. האם אפשר לפתח גאומטריה במישור כדורי? כיצד נראים ישרים במישור כזה? כיצד מחשבים זוויות? ומהו סכום הזוויות במשולש? על שאלות אלו ואחרות נענה בפרק זה ובפרק הבא.

3.1. קווי אורך וקווי רוחב

כאשר אנחנו רוצים להתייחס לנקודה מסוימת במישור, אנחנו יכולים להעביר בו מערכת צירים ולציין את הקואורדינטות x ו-y של הנקודה (ראו תרשים 1 בעמוד 6). מהי מערכת הצירים המתאימה לכדור?

גם על כדור יש מערכת צירים (ראו תרשים 10), אך מכיוון שהכדור כדורי, הקווים המרכיבים את מערכת הצירים אינם ישרים אלא מעגלים. המערכת בנויה ממעגלים אופקיים ואנכיים. נסביר עכשיו כיצד בנויה מערכת צירים זו, והכדור שישמש לנו דוגמה הוא כדור הארץ.

נתבונן בכל הקווים (חצאי מעגלים) היורדים על פני הכדור מהקוטב הצפוני לקוטב הדרומי (ראו תרשים 10). כל קו כזה נקרא קו אורך. קווים אלה "מצפים" את כל פני הכדור – כל נקודה על שפת הכדור נמצאת בדיוק על אחד מהקווים האלה. אנו נמספר את הקווים. נבחר אחד מהם ונקרא לו 0. בכדור הארץ נבחר קו האורך העובר דרך מצפה הכוכבים בעיר הבריטית גריניץ' להיות קו האורך 0. כשנתבונן בכדור מלמעלה (ראו תרשים 10), הכדור נראה דו-ממדי, הקוטב הצפוני הוא מרכז המעגל וכל קו אורך הוא קרן היוצאת מהמרכז. השם שניתן לכל קו יהיה הזווית בינו לבין קו 0.

יש שני קווי אורך במרחק 45° מקו 0: אחד מימין ואחד משמאל. כדי להבדיל ביניהם, לקו האורך מימין נקרא 45° מזרח, ולקו האורך משמאל נקרא 45° מערב. נשים לב שקו אורך 180° מזרח וקו אורך 180° מערב הם אותו קו. כל שני קווי אורך היוצאים מהקוטב הצפוני בכיוונים מנוגדים יוצרים מעגל. למשל, קו האורך °90 מזרח וקו האורך °90 מערב יוצרים מעגל.

תרשים 10: מימין: קווי אורך. מקור: ויקיפדיה. שימוש חופשי.

משמאל: קווי האורך במבט מלמעלה

תרגיל 10: איזו מדינה נמצאת על קו המשווה בקווי אורך אלה:

1) 80° מערב

2) 113° מזרח

תרגיל 11: רשמו את כל המדינות הנמצאות על קו האורך 70° מזרח.

קווי האורך הם אחת הקואורדינטות במערכת הצירים שנבנה על כדור. הקואורדינטה השנייה היא קווי רוחב. קווי הרוחב הם מעגלים המקבילים לקו המשווה (ראו תרשים 11). כל נקודה על שפת הכדור נמצאת על קו רוחב אחד בלבד.

תרשים 11: קווי רוחב

מה שמו של קו רוחב מסוים? כדי לקבוע את השם, נסתכל בנקודת החיתוך של קו הרוחב עם קו האורך 0° (הנקודה A בתרשים 12), במרכז המעגל (הנקודה o בתרשים 12) ונקודת החיתוך של קו האורך 0° עם קו המשווה (הנקודה B בתרשים 12). שמו של קו הרוחב הוא גודל הזווית AOB. לכל זווית יש שני קווי רוחב היוצרים אותה, אחד מעל קו המשווה והשני מתחתיו. כדי להבדיל ביניהם, לשמו של קו רוחב מעל קו המשווה נוסיף את הכינוי "צפון", ולשמו של קו רוחב מתחת לקו המשווה נוסיף את הכינוי "דרום".

תרשים 12: חישוב הזווית של קו רוחב

קו הרוחב 90° צפון הוא נקודה אחת בלבד – הקוטב הצפוני, וקו הרוחב 90° דרום כולל אך ורק את נקודת הקוטב הדרומי. קו המשווה הוא קו הרוחב 0° צפון וכן קו הרוחב 0° דרום.

דרך כל נקודה עוברים קו אורך יחיד וקו רוחב יחיד. הקואורדינאטות של כל נקודה יהיו השמות של קווי האורך והרוחב העוברים בה.

תרגיל 12: רשמו את קווי האורך והרוחב (בדיוק של נקודה אחת אחרי הנקודה) של תל-אביב ושל העיר ברזיליה בברזיל.

תרגיל 13: רשמו את הקואורדינטות של הקוטב הצפוני.

הגדרה 4: שתי נקודות על שפת הכדור נקראות נקודות נגדיות אם הישר המחבר ביניהן עובר דרך מרכז הכדור.

במילים אחרות, המרחק בין שתי נקודות נגדיות הוא קוטר הכדור. בכל חלק של תרשים 13 מופיע זוג נקודות נגדיות. בכדור א הנקודות הנגדיות הן הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי. בכדור ב הנקודות הנגדיות נמצאות על קו המשווה, ובכדור ג הנקודות הנגדיות נמצאות אי שם על שפת הכדור: האחת ליד הקוטב הדרומי בצד הקדמי של הכדור והשנייה ליד הקוטב הצפוני בצד האחורי של הכדור.

תרשים 13: נקודות נגדיות

תרגיל 14: רשמו את זוגות הצבעים הנמצאים בנקודות נגדיות בתרשים 14.

תרשים 14: נקודות נגדיות על כדור

תרגיל 15: היכן בכדור הארץ נמצאת הנקודה הנגדית לתל-אביב? איזה יישוב שוכן סמוך לנקודה הנגדית למדריד בירת ספרד? אתם יכולים להיעזר במפת גוגל כדי לפתור את התרגיל.

3.2. נקודות וישרים במישור הכדורי

בכל המישורים שראינו עד כה, נקודה הורכבה תמיד מנקודה אחת: זה היה שם של ילד במישור סופי או זוג קואורדינטות (x ,y) במישור האוקלידי. אין הדבר כך במישור הכדורי. כעת נפנה להגדיר את המושגים נקודה וישר במישור כדורי.

כדי להבדיל בין המושגים "נקודה" ו"ישר" במשמעותן הרגילה בעברית לבין המושגים "נקודה" ו"ישר" במישור הכדורי, נקרא לנקודה במישור הכדורי בשם S-נקודה, ולישר במישור הכדורי נקרא S-ישר. האות S מציינת את המילה האנגלית sphere, או סְפֵרָה, שמשמעותה כדור.

נתחיל בהגדרת הנקודות במישור הכדורי, כלומר ה-S-נקודות.

הגדרה 5: S-נקודה במישור הכדורי היא זוג נקודות נגדיות.

נעבור להגדרת S-ישרים. על שפת הכדור אפשר לצייר מעגלים רבים, גדולים וקטנים, כפי שמתואר בתרשים 15.

תרשים 15: מעגלים על שפת הכדור

הגדרה 6: מעגל על הכדור נקרא מעגל גדול אם כאשר פורסים את הכדור לשני חלקים לפי המעגל, מתקבלים שני חצאים שווי נפח (בעצם אפילו חופפים).

כל שני קווי אורך היוצאים מהקוטב הצפוני בכיוונים מנוגדים (למשל, 45° מזרח ו-45° מערב) יוצרים יחד מעגל גדול. מבין קווי הרוחב, רק קו המשווה הוא מעגל גדול.

החתך שנוצר בכדור כאשר פרסנו אותו לפי מעגל, מגדיר מישור. מכיוון שמעגל גדול מחלק את הכדור לשני חצאים שווי נפח, מרכז הכדור נמצא על מישור זה (ראו תרשים 16). יתר על כן, מרכז הכדור הוא מרכז המעגל הגדול שלפיו פרסנו את הכדור. במילים אחרות, מרכזו של כל מעגל גדול הוא מרכז הכדור. ומכאן – הקוטר של מעגל גדול שווה לקוטר הכדור. יתרה מזו, אם נתבונן במישור העובר דרך מרכז הכדור, הרי אוסף נקודות החיתוך של מישור זה ושל הכדור מהווה מעגל גדול (ראו המעגל האדום בתרשים 16).

נשים לב שאם נקודה x נמצאת על מעגל גדול כלשהו, ואם y היא הנקודה הנגדית ל-x, אזי גם הנקודה y נמצאת על אותו מעגל גדול (ראו תרשים 16). מדוע? הנקודה x ומרכז הכדור נמצאים על המישור של המעגל הגדול. הנקודה y נמצאת אף היא על מישור זה, משום שהיא נמצאת על הקרן היוצאת מ-x ועוברת דרך מרכז הכדור. כלומר, הנקודה y נמצאת הן על המישור של המעגל הגדול הן על שפת הכדור, ולכן היא נמצאת בחיתוך של שתי קבוצות אלה, שהוא המעגל הגדול.

תרשים 16: מעגל גדול, מרכז הכדור וזוג נקודות נגדיות. מבוסס על יצירה של Jhbdel ב-en.wikipedia, שאליה הוספו מרכז הכדור, הנקודות הנגדיות והטקסט בעברית.

כעת אנחנו מוכנים להגדיר ישרים במישור הכדורי, או, כפי שקראנו להם, S-ישרים.

הגדרה 7: כל מעגל גדול הוא S-ישר במישור הכדורי (ואין ישרים זולת מעגלים גדולים).

S-נקודה היא זוג נקודות נגדיות ו-S-ישר הוא מעגל גדול. אם אחת מהנקודות המרכיבות S-נקודה נמצאת על מעגל גדול, האם גם הנקודה הנגדית לה נמצאת על המעגל הגדול? כפי שהסברנו קודם (בעמוד 26), התשובה חיובית: אם מעגל גדול עובר בנקודה מסוימת x, ואם y היא הנקודה הנגדית ל-x, אזי המעגל הגדול עובר גם דרך y.

מה חשיבותם של S-ישרים? אם נתבונן בשתי נקודות על כדור הארץ, המסלול הקצר ביותר ביניהן הוא לאורך המעגל הגדול העובר דרך שתיהן. כדי להוזיל טיסות, כדאי שהדרך שהמטוס עובר תהיה הקצרה ביותר. לכן היינו מצפים שנתיב טיסה משדה תעופה אחד לאחר יעבור במסלול הקצר ביותר בין שדות התעופה. בתרשים 17 מתוארות שתי נקודות על כדור הארץ – שדה התעופה בן גוריון ושדה התעופה של העיר סן פרנסיסקו בארצות הברית – ומסלול הטיסה ביניהן. ואכן, מסלול הטיסה עובר על מעגל גדול.

תרשים 17: מסלול הטיסה מנמל התעופה בן גוריון לסן פרנסיקו. מקור: מפות גוגל.

בתרשים 18 מתוארים כל המסלולים של טיסות היוצאות משדה התעופה בן גוריון ונכנסות אליו. אפשר לראות שכל המסלולים מעוקלים, וזאת משום שהם עוקבים אחרי מעגלים גדולים.

תרשים 18: מפת מסלולי טיסות אל שדה התעופה בן גוריון וממנו. כל קו ורוד הוא מסלול של טיסה, והוא עוקב אחרי מעגל גדול. לקוח מאתר http://www.flightconnections.com/.

3.3. בדיקת קיום חוקי המישור

נבדוק עתה שההגדרה של S-נקודות ו-S-ישרים מקיימת את החוקים של מישור שהבאנו בפרק 1.2. אלה הן ארבע התכונות:

1. בין כל שתי S-נקודות עובר בדיוק S-ישר אחד.

2. על כל S-ישר יש לפחות שתי S-נקודות.

3. אם שני S-ישרים נחתכים, הם נחתכים ב-S-נקודה אחת בלבד.

4. במישור יש לפחות שלוש S-נקודות שאינן על S-ישר אחד.

טענה 1. התכונה הראשונה מתקיימת: בין כל שתי S-נקודות עובר בדיוק S-ישר אחד.

הוכחה: על הכדור הימני שבתרשים 19 מצוירות שתי S-נקודות, אחת אדומה ואחת כחולה. ה-S נקודה האדומה מורכבת משתי נקודות נגדיות על שפת הכדור המסומנות A ו-B, וה-S-נקודה הכחולה מורכבת משתי נקודות נגדיות על שפת הכדור המסומנות C ו-D.

נסובב את הכדור כך שהנקודה A תמוקם בקוטב הצפוני (הכדור השמאלי בתרשים 19). הנקודה B, שהיא הנקודה הנגדית לנקודה A, תמוקם לאחר הסיבוב בקוטב הדרומי, שהוא הנקודה הנגדית לקוטב הצפוני. בעקבות הסיבוב, הנקודות C ו-D עברו למיקומים חדשים, והן עדיין נקודות נגדיות.

תרשים 19: הכדור לפני הסיבוב (מימין) ואחריו (משמאל)

המעגלים הגדולים העוברים דרך הקוטב הצפוני והדרומי מכסים את כל הכדור (ראו תרשים 10 בעמוד 21), ובפרט, בדיוק אחד מהם עובר דרך הנקודה C. בעמוד 26 ראינו שאם נקודה נמצאת על מעגל גדול, גם הנקודה הנגדית לה נמצאת על אותו מעגל גדול, ולכן גם הנקודה D נמצאת על המעגל הגדול. כלומר, מצאנו שקיים לפחות S-ישר אחד העובר דרך שתי ה-S-נקודות.

כפי שציינו קודם, כל שאר המעגלים הגדולים העוברים דרך הקוטב הצפוני והדרומי אינם עוברים דרך הנקודה C, ולכן לא קיים S-ישר נוסף העובר דרך שתי הנקודות הנגדיות.

טענה 2. התכונה השנייה מתקיימת: על כל S-ישר יש לפחות שתי S-נקודות.

הוכחה: על כל מעגל גדול יש אין-סוף נקודות, ולכן על כל S-ישר, שהוא מעגל גדול, יש אין-סוף S-נקודות.

טענה 3. התכונה השלישית מתקיימת: אם שני S-ישרים נחתכים, הם נחתכים ב-S-נקודה אחת בלבד.

הוכחה: נניח שנתונים לנו שני S-ישרים שונים (ראו תרשים 20). ה-S-ישר הראשון הוא חיתוך של שפת הכדור עם מישור אחד, המסומן M. ה-S-ישר השני הוא חיתוך של שפת הכדור עם מישור אחר, המסומן N. מכיוון ששני המישורים הללו עוברים דרך מרכז הכדור O, החיתוך שלהם אינו ריק, כלומר המישורים הללו אינם מקבילים. מכיוון שה-S-ישרים שונים, גם המישורים M ו-N שונים, והחיתוך של שני מישורים שונים הוא ישר, שנסמן אותו L.

הישר L עובר דרך מרכז הכדור O, ולכן הוא חותך את הכדור פעמיים, בנקודות נגדיות, המסומנות E ו-F. זוג נקודות נגדיות אלה הוא S-נקודה, ו-S-נקודה זו היא החיתוך של שני ה-S-ישרים שמהם התחלנו.

תרשים 20: המישור M (שחור), המישור N (כחול) והישר L (אדום)

טענה 4. התכונה הרביעית מתקיימת: במישור יש לפחות שלוש S-נקודות שאינן על S-ישר אחד.

הוכחה: מטענה 1 ידוע שדרך כל שתי S-נקודות A ו-B עובר S-ישר. כל S-נקודה שאינה נמצאת על S-ישר זה וה-S-נקודות A ו-B מוכיחות יחד שיש במישור לפחות שלוש S-נקודות שאינן נמצאות על S-ישר אחד.

תרגיל 16: האם מישור הכדור הוא מישור פרויקטיבי? נמקו את תשובתכם. ראו הגדרה של מישור פרויקטיבי בעמוד 15.

4. זוויות, משולשים וירחים במישור הכדורי

בפרק זה נלמד כיצד מחשבים זוויות בין ישרים במישור כדורי, ונכיר משולשים וירחים שנוצרים בו. כמו כן נלמד כיצד מחשבים שטח של משולש במישור זה.

4.1. חישוב זווית על כדור

במישור, הזווית בין שני ישרים היא מידת הסיבוב הדרושה כדי שאחד הישרים יגיע למקומו של הישר השני, כשציר הסיבוב הוא נקודת החיתוך בין שני הישרים. בסעיף זה נגדיר את הזווית בין שני S-ישרים.

כזכור, כל S-ישר מגדיר מישור העובר דרך מרכז הכדור. הזווית בין שני S-ישרים היא הזווית בין המישורים שעליהם הם נמצאים (ראו תרשים 21).

הגדרה 7: הזווית בין שני S-ישרים היא הזווית בין שני המישורים שה-S-ישרים מגדירים.

כיצד מחושבת זווית זו? מהתכונה השלישית של מישור אנו מקבלים כי החיתוך של שני S-ישרים הוא S-נקודה, כלומר, זוג של נקודות נגדיות. בתרשים 21 מתוארים שני S-ישרים, שאת נקודות החיתוך ביניהם סימנו E ו-F. מרכז הכדור O נמצא באמצע הדרך בין E ל-F. נצייר את המישור שעובר דרך מרכז הכדור ומאונך לישר EF. מישור זה חותך כל אחד מה-S-ישרים בישר. בתרשים 21, ישרים אלה הם OC ו-OD. הזווית COD היא הזווית בין ה-S-ישרים.

תרשים 21: הזווית בין S-ישרים

תרגיל 17: כל קו אורך על כדור הארץ הוא חצי של S-ישר. אוסטרליה מחולקת לשש מדינות, שאחת מהן נקראת "דרום אוסטרליה" (ראו תרשים 22). הגבול המזרחי של דרום אוסטרליה הוא קו האורך °141 מזרח, והגבול המערבי הוא קו האורך 129° מזרח. מהי הזווית בין שני קווי אורך אלה?

תרשים 22: חלוקה מדינית של אוסטרליה. מקור: ויקיפדיה. שימוש חופשי.

4.2. משולשים

משולש במישור הוא השטח הכלוא בין שלושה ישרים. באותו אופן, S-משולש הוא השטח הכלוא בין שלושה S-ישרים. בתרשים 23 מתואר S-משולש. כפי שרואים בתרשים, לכל S-משולש (השטח האדום) יש S-משולש נגדי (השטח הכחול), המכיל את כל הנקודות הנגדיות לנקודות בשטח.

תרשים 23: S-משולש

סכום הזוויות של משולש במישור הוא 180°. מהו סכום הזוויות של S-משולש על הכדור?

תרגיל 18: בתרשים 24 מופיעים שני S-משולשים. בשניהם, הבסיס הוא קו המשווה ואחת הצלעות יושבת על קו האורך 0°. הצלע השנייה יושבת על קו אורך שונה בכל S-משולש: בכדור א (מימין) היא יושבת על קו אורך 90° מערב, ובכדור ב (משמאל) על קו אורך 45° מערב. רשמו את סכום הזוויות בכל אחד מהמשולשים.

תרשים 24: S-משולש בעל זווית ראש של 90° (א, מימין) ו-S-משולש בעל זווית ראש של 45° (ב, משמאל)

כפי שאנו רואים, סכום הזוויות ב-S-משולש על הכדור אינו בהכרח 180°. יתר על כן, יכולים להיות שני S-משולשים שבהם סכומי הזוויות שונים.

קל להשתכנע ששטחו של ה-S-משולש המופיע בתרשים 24א כפול משטחו של ה-S-משולש המופיע בתרשים 24ב, וזאת מפני שזווית הראש של ה-S-משולש המופיע בתרשים 24א היא °90, והיא כפולה מזווית הראש של ה-S-משולש המופיע בתרשים 24ב. כפי שחישבתם, סכום הזוויות של ה-S-משולש המופיע בתרשים 24א גדול מסכום הזוויות של ה-S-משולש המופיע בתרשים 24ב. המטרה הבאה שלנו היא לקשר בין סכום הזוויות ב-S-משולש לשטחו של המשולש. לשם כך, בסעיף הבא נגדיר ירחים.

4.3. ירחים

אם נצייר שני מעגלים גדולים על שפת הכדור, הם ייחתכו בשתי נקודות נגדיות ויחלקו את שפת הכדור לארבעה חלקים (ראו תרשים 25). את אחד מארבעת החלקים צבענו בכחול. החלק של שפת הכדור שנמצא בין שני מעגלים גדולים נקרא ירח.

תרשים 25: שני מעגלים גדולים על שפת הכדור

הגדרה 8: ירח הוא שטח על שפת הכדור הנמצא בין שני מעגלים גדולים.

מהו שטחו של ירח? לשם כך ניזכר שהירח מוגדר באמצעות שני S-ישרים, וכל אחד מה-S-ישרים האלה נמצא על מישור. שטח הירח תלוי בזווית בין שני מישורים אלה. אם הזווית בין שני המישורים היא 30°, כפי שקורה בתרשים 25, שטח הירח הוא משטח הפנים של הכדור. אם הזווית בין שני המישורים היא 60°, שטח הירח הוא שישית משטח הפנים של הכדור. באופן כללי, אם α היא הזווית בין שני המישורים המגדירים את הירח ו-R הוא שטח הפנים של הכדור, הרי שטח הירח נתון בנוסחה זו: .

4.4. שטחו של S-משולש

בסעיף זה נחשב את שטחו של S-משולש. נתבונן ב-S-משולש המתואר בתרשים 26א, שקדקודיו הם A, B ו-C, צלעותיו הן a, b ו-c, וזוויותיו α, β ו-γ. נקרא למשולש זה ABC, ונסמן את שטחו ב-Δ.

תרשים 26: S-משולש על שפת הכדור. בחלק ב מופיע גם ה-S משולש הנגדי.

ל-S-משולש ABC יש שלוש צלעות, שכל אחת מהן היא S-ישר. שלושת ה-S-ישרים מחלקים את שפת הכדור לשמונה חלקים, שכל אחד מהם הוא S-משולש. ה-S-משולש ABC וה-S משולש המשיק לו בצלע a מהווים יחד ירח בעל זווית α (ראו תרשים 27א). שטח ירח זה הוא. הירח הנגדי לירח זה, המורכב מהמשולשים הצבועים בצהוב בתרשים 27ב, אף הוא ירח בעל זווית α, ולכן גם שטחו של ירח זה הוא.

תרשים 27: שני ירחים בעלי זווית α (חלק א מימין, חלק ב משמאל)

באותו אופן, ה-S-משולש ABC וה-S משולש המשיק לו בצלע b מהווים יחד ירח בעל זווית β (ראו תרשים 28א). שטח ירח זה הוא. כמו כן, הירח הנגדי לירח זה, המורכב מהמשולשים הצבועים בצהוב בתרשים 29ב, אף הוא ירח בעל זווית β, ולכן גם שטחו של ירח זה הוא.

תרשים 28: שני ירחים נגדיים בעלי זווית β

אנו רואים גם כי ה-S-משולש ABC בצירוף ה-S משולש המשיק לו בצלע c מהווים יחד ירח בעל זווית γ (ראו תרשים 29א). שטח ירח זה הוא . כמו כן, הירח הנגדי לירח זה, המורכב מהמשולשים הצבועים בצהוב בתרשים 29ב, אף הוא ירח בעל זווית γ, ולכן גם שטחו של ירח זה הוא .

תרשים 29: שני ירחים נגדיים בעלי זווית γ

שטחם הכולל של ששת הירחים שצבענו הוא. אם נבחן היטב את השטח שששת הירחים מכסים, נראה שהם מכסים שלוש פעמים את ה-S-משולש ABC, שלוש פעמים את ה-S-משולש הנגדי ל-S-משולש ABC, ופעם אחת את כל אחד משאר ה-S-משולשים. מכיוון ששטח המשולש הנגדי ל-S-משולש ABC שווה לשטח המשולש ABC, נקבל כי

= שטח הפנים של הכדור + 4 פעמים שטח המשולש ABC.

נזכור כי שטח הפנים של הכדור הוא R ושטחו של המשולש ABC הוא Δ, ולכן

נעביר את הגורם R לאגף ימין ונזכור כי , ונקבל

ולכן

קיבלנו אם כן תוצאה זו:

משפט 3: כאשר שטח הפנים של הכדור הוא R, שטחו של S-משולש, שזוויותיו הן α, β ו-γ,

שווה ל- .

משפט זה מראה כי שטחו של S-משולש תלוי בסכום הזוויות שלו: ככל שסכום הזוויות גדול יותר, כך גם שטחו של המשולש גדול יותר. יתר על כן, אם סכום הזוויות α+β+γ שווה 180°, שטח המשולש הוא 0. מכאן אנו מסיקים מסקנה זו:

מסקנה: בכל S-משולש ששטחו חיובי, סכום הזוויות גדול מ-180°.

תרגיל 19: בתרשים 24א מוצג S-משולש שכל זוויותיו בנות 90°. מה שטחו?

אם נשקול היטב את המסקנה שהצגנו, נגלה שהיא מטרידה. מדוע? הנייר הוא מישור אוקלידי רגיל, ולכן אם נצייר עליו משולש ישר זווית שאורך כל אחת מצלעותיו המאונכות הוא 10 ס"מ, נקבל משולש ששטחו 50 סמ"ר וסכום זוויותיו הוא 180°. נצייר כעת משולש זהה על הקרקע בחצר בית הספר. המשולשים זהים, ולכן קיבלנו משולש ששטחו 50 סמ"ר וסכום זוויותיו הוא 180°. אבל, חצר בית הספר נמצאת על כדור הארץ, ולכן על פי המסקנה לעיל סכום הזוויות של המשולש אינו 180°. מהי הבעיה?

תרגיל 20: מהי הבעיה בהסבר שהבאנו בפסקה הקודמת?

תרגיל 21:

1) מהו שטח הפנים של כדור הארץ (חפשו את התשובה באינטרנט)?

2) הראל צייר בחצר בית הספר S-משולש ששטחו 50 סמ"ר. מהו סכום הזוויות של ה-S-משולש שצייר הראל?

התרגיל האחרון מבהיר את פתרון התרגיל שלפניו: כאשר מציירים על הקרקע S-משולש ישר זווית שאורך כל אחת מצלעותיו המאונכות הוא 10 ס"מ, נקבל משולש השונה במעט ממשולש ישר זווית שיצויר על נייר. מכיוון שכדור הארץ גדול, ההבדל בין המשולש שצויר על הנייר ל-S-משולש שצויר על הקרקע הוא מזערי, ואיננו יכולים להבחין בו בעין. אם, לעומת זאת, היינו משרטטים S-משולש ישר זווית שאורך כל אחת מצלעותיו המאונכות 10 ס"מ על כדור קטן יותר, למשל, על כדורגל או כדורסל, היינו מבחינים היטב בהבדלים בין המשולש שצויר על נייר ל-S-משולש.

5. המישור ההיפרבולי

במישור האוקלידי סכום הזוויות במשולש הוא 180°, ובמישור הכדורי סכום הזוויות במשולש גדול מ-180°. האם קיים מישור שבו סכום הזוויות במשולש קטן מ-180°? מסתבר שהתשובה לכך חיובית, ודוגמה למישור שבו הדבר קורה היא המישור ההיפרבולי. בסעיף זה נציג בקצרה מישור זה.

אוסף הנקודות של המישור ההיפרבולי הוא אוסף הנקודות בעיגול, וישר הוא אוסף נקודות הנמצאות על קשת מעגל המאונכת בשני קצותיה לשפת העיגול, כפי שנראה בתרשים 30. בתרשים זה סימנו את נקודות הקצה של הקשתות, ולכל ישר קראנו על פי שתי נקודות הקצה שלו. הישרים AB, CI, DF ו-KM אינם נחתכים, ולכן כל זוג מהם הוא זוג של ישרים מקבילים.

תרשים 30: ישרים במישור ההיפרבולי

במישור הכדורי, כל שני S-ישרים נחתכים. במישור האוקלידי, אם נתון ישר L ונקודה A שאיננה עליו, אפשר להעביר דרך A ישר אחד בדיוק המקביל לישר L. בתרשים 30 אנו רואים כי במישור ההיפרבולי, דרך הנקודה J עוברים שני ישרים שונים המקבילים לישר AB: הישרים JE ו-JK. למען האמת, דרך הנקודה J אפשר להעביר אין-סוף ישרים המקבילים לישר AB.

בתרשים 31 מוצג משולש במישור ההיפרבולי. כפי שאפשר לראות, סכום הזוויות במשולש זה קטן מ-180°. דבר זה נכון לכל משולש שנצייר במישור ההיפרבולי.

תרשים 31: משולש במישור ההיפרבולי

השוואה בין תכונות המישורים: אוקלידי, כדורי והיפרבולי

ראינו כי למישורים שונים יש תכונות גיאומטריות שונות. הגדרנו את המישור הכדורי והכרנו תכונות אחדות שלו, וכן הזכרנו את המישור ההיפרבולי וכמה מתכונותיו הייחודיות. כעת נסכם ונשווה בין תכונות שלושת המישורים: אוקלידי, כדורי והיפרבולי. ההשוואה מוצגת בטבלה.

מישור אוקלידי

מישור כדורי

מישור היפרבולי

נקודה

נקודה במישור

זוג נקודות נגדיות

נקודה בעיגול

ישר

ישר במישור

מעגל שקוטרו הוא קוטר הכדור

קשת מעגל המאונכת לשפת העיגול בשתי קצותיה

ישרים מקבילים

יש ישרים מקבילים

כל שני ישרים נחתכים בנקודה אחת

יש ישרים מקבילים

דרך נקודה שאינה על ישר L אפשר להעביר ישר אחד המקביל לישר L

דרך נקודה שאינה על ישר L אפשר להעביר אין-סוף ישרים המקבילים לישר L

סכום הזוויות במשולש

180°

גדול מ-180°

קטן מ-180°

6. סיכום

העולם סביבנו נראה לנו שטוח. לכן טבעי שנלמד את הגאומטריה של המישור השטוח. ואכן, אוקלידס, שחי במאה הרביעית לפני הספירה, חקר ביסודיות גאומטריה זו. עם זאת, כדור הארץ עגול ותנועת הכוכבים בשמיים היא מעגלית, וייתכן שמשום כך חוקרים יוונים רבים בעת העתיקה בחרו ללמוד את תכונותיו של הכדור. בין החוקרים הללו נציין את אוטוליקוס, שחי בעיר פיטאנה בין השנים 360 לפני הספירה ועד 290 לפני הספירה, את תיאודיסיוס מביתיניה, שחי בין השנים 169 לפני הספירה ועד 100 לפני הספירה, ואת מנלאוס מאלכסנדריה שבמצרים, אשר חי בין השנים 140 לפני הספירה ועד 70 לפני הספירה. את הספר הקדום ביותר על הגאומטריה של הכדור שהגיע לידינו כתב המלומד המוסלמי אל ג'איאני מהעיר קורדובה בספרד (989–1079).

לגאומטריה של הכדור יש שימושים רבים. אחד השימושים שהזכרנו בחוברת הוא מציאת נתיב הטיסה הקצר ביותר בין שתי נקודות על כדור הארץ. בניית מנהרה ארוכה אף היא דורשת התחשבות בהתעגלות של פני כדור הארץ. הגאומטריה של הכדור גם משמשת לחישוב מועדי הזריחה והשקיעה של כוכבים. יש לה שימוש נוסף, המסייע ליהודים ולמוסלמים בתפילותיהם: יהודים מתפללים עם פניהם לירושלים, ומוסלמים עם פניהם לעיר מכה בערב הסעודית. הכיוון נקבע לפי המסלול הקצר ביותר בין המתפללים לעיר הקדושה להם, כלומר, לפי המעגל הגדול העובר ביניהם. קו הרוחב של ירושלים הוא 31.8 צפון, וקו הרוחב של מכה הוא 21.4 צפון. אף שקו הרוחב של העיר סן פרנסיסקו הוא 37.7 צפון, יהודים ומוסלמים הנמצאים בעיר זו מתפללים לכיוון צפון-מזרח, ולא ולכיוון דרום-מזרח (ראו בתרשים 17 בעמוד 28 את המעגל הגדול העובר דרך סן פרנסיסקו ותל-אביב).

בעוד המישור האוקלידי והמישור הכדורי הם מישורים שאפשר לדמיין משום שהם סובבים אותנו, מישורים המכילים מספר סופי של נקודות והמישור ההיפרבולי הם יצירי דמיון, והם נולדו במאה ה-19 כאשר חוקרים מודרניים בדקו את אקסיומת המקבילים. אקסיומה זו, שהמציא אוקלידס בעבור הגאומטריה של המישור, אומרת שדרך כל נקודה שאינה נמצאת על ישר L אפשר להעביר ישר אחד בדיוק המקביל לישר L. החוקרים ניסו לבדוק אם יש מישורים שאינם מקיימים אקסיומה זו, וכשגילו את המישור ההיפרבולי הם הבינו שכך הדבר. מציאת המישור ההיפרבולי סימנה את לידתה של הגאומטריה הלא אוקלידית כתחום בפני עצמו. אף שאפשר היה לחשוב שהגאומטריה הלא אוקלידית היא תרגיל מחשבתי ללא שימוש מעשי, הרי בימינו הגאומטריה הפרויקטיבית משמשת בין השאר להצפנה ולקידוד של אותות, ופיזיקאים מתבססים על גאומטריה לא אוקלידית מסוימת בתורת היחסות הכללית.

אנו מקווים שנהניתם מקריאת החוברת. תוכלו למצוא חוברות נוספות, הן בתחום המתמטיקה הן בתחומים נוספים, באתר פרויקט "כדאי לדעת" בכתובת www.goodtoknow.ac.il.

7. נספח: חוקי מישור

1) בין כל שתי נקודות עובר בדיוק ישר אחד.

2) על כל ישר יש לפחות שתי נקודות.

3) אם שני ישרים נחתכים, הם נחתכים בנקודה אחת בלבד.

4) במישור יש לפחות שלוש נקודות שאינן על ישר אחד.

נזכור גם את ההגדרה של ישרים מקבילים:

שני ישרים שאין להם נקודה משותפת נקראים ישרים מקבילים.

מעגל גדול

הנקודה x

מרכז הכדור

הנקודה y

8. תשובות לשאלות

פתרון תרגיל 1: המישור האוקלידי מקיים את ארבע התכונות.

פתרון תרגיל 2:

א. בין כל שתי נקודות עובר ישר אחד (כלומר, מעגל): כן.

ב. על כל ישר (כלומר, על כל מעגל) יש לפחות שתי נקודות: כן.

ג. אם שני ישרים נחתכים (כלומר, אם שני מעגלים נחתכים), הם נחתכים בנקודה אחת: לא מתקיים. יש מעגלים הנחתכים בשתי נקודות.

ד. במישור יש לפחות שלוש נקודות שאינן על ישר אחד (כלומר, אינן על מעגל אחד): כן.

פתרון תרגיל 3:

א. כל ארבע התכונות מתקיימות.

ב. תכונות 1 ו-2 אינן מתקיימות. אין שתי נקודות המחוברות בישר, וכל הישרים מכילים רק נקודה אחת.

ג. תכונה 1 אינה מתקיימת: דרך כל שתי נקודות עוברים אין-סוף ישרים. בתרשים 32 ציירנו שלושה ישרים שונים, אדום כחול וירוק, העוברים דרך הנקודות A ו-B. תכונה 3 אף היא אינה מתקיימת: שני ישרים יכולים להיחתך באין-סוף נקודות. לדוגמה, הישרים האדום, הכחול והירוק בתרשים 32 מכילים את כל הנקודות על הקשת שבין A ל-B.

תרשים 32: המעגל ושלושה ישרים

פתרון תרגיל 4:

א. אין ישרים מקבילים.

ב. כל זוג ישרים מקבילים.

ג. כל שני קטעים זרים על שפת המעגל מהווים ישרים מקבילים.

פתרון תרגיל 5:

יש ארבע נקודות: אילה, בן, גבע, דנה.

יש שלושה ישרים: [אילה, בן, גבע], [אילה, בן, דנה], [גבע, דנה].

התכונה הראשונה מתקיימת: בין כל שתי נקודות עובר ישר.

התכונה השנייה מתקיימת: על כל ישר יש לפחות שתי נקודות.

התכונה השלישית אינה מתקיימת: הישרים [אילה, בן, גבע] ו-[אילה, בן, דנה] נחתכים בשתי נקודות – אילה ובן.

התכונה הרביעית מתקיימת: במישור יש לפחות שלוש נקודות שאינן על ישר אחד.

פתרון תרגיל 6:

א. כל זוג של שני ילדים מהווה ישר: [הילה, ויקטור], [הילה, זיוה[, [הילה, חי], [הילה, טנא],
[ויקטור, זיוה], [ויקטור, חי], [ויקטור, טנא], [זיוה, חי], [זיוה, טנא], [חי, טנא].

ב.

ג. יש חמישה-עשר זוגות של ישרים מקבילים:

1. [הילה, ויקטור], [זיוה, טנא]

2. [הילה, ויקטור], [זיוה, חי]

3. [הילה, ויקטור], [חי, טנא]

4. [הילה, זיוה], [ויקטור, חי]

5. [הילה, זיוה], [ויקטור, טנא]

6. [הילה, זיוה], [חי, טנא]

7. [הילה, חי], [ויקטור, זיוה]

8. [הילה, חי], [זיוה, טנא]

9. [הילה, חי], [ויקטור, טנא]

10. [הילה, טנא], [ויקטור, זיוה]

11. [הילה, טנא], [ויקטור, חי]

12. [הילה, טנא], [זיוה, חי]

13. [ויקטור, זיוה], [חי, טנא]

14. [ויקטור, חי], [זיוה, טנא]

15. [ויקטור, טנא], [זיוה, חי]

פתרון תרגיל 7:

א. יש ארבעה ישרים: [חן, טל, יריב], [חן, טל, כרמל], [חן, יריב, כרמל], [טל, יריב, כרמל].

ב. הגדרה זו אינה מגדירה מישור. תכונה 3 אינה מתקיימת: למשל, הישרים [חן, יריב, כרמל], [טל, יריב, כרמל] נחתכים בשתי נקודות – יריב וכרמל.

פתרון תרגיל 8:

כן, ההגדרה מקיימת את התכונות 1–4. במישור זה כל שני ישרים נחתכים, ולכן זהו מישור פרויקטיבי.

הנה דוגמה למישור פרויקטיבי שיש בו תשע נקודות אשר שמונה מהן נמצאות על ישר אחד:

פתרון תרגיל 9:

מכיוון שמדובר במישור מהמשפחה השנייה, כל ישר במישור מכיל K נקודות. תהי x נקודה במישור. נבנה תחילה שני ישרים שונים העוברים דרך נקודה x. איך נעשה זאת? תהי y נקודה כלשהי שאינה x, ויהי L1 הישר המחבר את y ו-x (ראו תרשים 33). מתכונה 4 אנו יודעים כי יש נקודה z שאינה נמצאת על הישר L1. יהי L2 הישר המחבר את z ו-x. מכיוון שבין כל שתי נקודות במישור עובר ישר, יש ישר – שנסמן אותו L* – העובר דרך y ו-z. ישר זה שונה מהישר L1 (מכיוון שהישר L1 אינו עובר דרך הנקודה z) והוא שונה מהישר L2 (מכיוון שהישר L2 אינו עובר דרך הנקודה y).

תרשים 33: הנקודות x, y, z והישרים L1 ו-L2.

האם יכול להיות שהישר L* עובר דרך הנקודה x? לא! מדוע? אם הישר L* היה עובר דרך הנקודה x, כי אז היו שני ישרים העוברים דרך הנקודות x ו-y: הישרים L1 ו-L*. אבל מתכונה 2 של מישורים אנו יודעים כי יש רק ישר אחד העובר בין כל שתי נקודות.

על הישר L* נמצאות K נקודות, שנסמן אותן x1, x2, ..., xK (ראו תרשים 34; הנקודות y ו-z הן שתיים מתוך הנקודות x1, x2, ..., xK). מתכונה 1 ידוע שבין הנקודה x לנקודה xK עובר ישר – נסמן אותו Lk. הישרים L1, L2, ..., LK הם ישרים שונים. נַראה זאת לגבי הישרים L1 ו-L2. אם הישרים L1 ו-L2 היו אותו ישר, כי אז שניהם היו עוברים דרך שלוש הנקודות x1, x2, x. אבל הישר L* עובר דרך הנקודות x1 ו-x2 והוא אינו עובר דרך x. בפרט, הישרים L* ו-L1 הם ישרים שונים העוברים דרך אותן שתי נקודות, x1 ו-x2, ובגלל תכונה 3 אין זה אפשרי.

תרשים 34: הנקודה x והישר L*

קיבלנו אם כן שדרך הנקודה x עוברים לפחות K ישרים. האם יכול להיות שדרך הנקודה K עובר ישר נוסף? נראה שלא. נניח שמלבד הישרים L1, L2, ..., LK עובר דרך הנקודה x ישר נוסף, שנסמן אותו M. מכיוון שהמישור פרויקטיבי, הישר M חותך את הישר L*. נקודת החיתוך שלהם נמצאת על L*, ולכן היא אחת הנקודות x1, x2, ..., xK, נאמר x3. אך במקרה זה M הוא ישר העובר דרך x3 ו-x. מכיוון שגם הישר L3 עובר דרך שתי נקודות אלה, ועל פי תכונה 3, נקבל כי L3 ו-M הם אותו ישר. אך דבר זה סותר את ההנחה ש-M הוא ישר נוסף השונה מ- L1, L2, ..., LK.

פתרון תרגיל 10:

איזו מדינה נמצאת על קו המשווה בקווי אורך אלה:

1) 80° מערב: אקוודור

2) 113° מזרח: אינדונזיה

פתרון תרגיל 11:

המדינות הנמצאות על קו האורך 70° מזרח הן רוסיה, קזחסטן, אוזבקיסטן, טג'יקיסטן, קירגיזיסטן, אפגניסטן, פקיסטן, הודו, הטריטוריות הדרומיות של צרפת, אנטרקטיקה.

פתרון תרגיל 12:

תל-אביב: 32° צפון, 34.8° מזרח

ברזיליה: 15.8° דרום, 48.1° מערב

פתרון תרגיל 13:

הקוטב הצפוני נמצא בקו רוחב 90° צפון. בקו רוחב זה נמצאת נקודה אחת בלבד, ואין משמעות לקו האורך.

פתרון תרגיל 14:

זוגות הצבעים היושבים על נקודות נגדיות הם: כחול–אפור, צהוב–לבן, ירוק–שחור, שני–ארגמן.

פתרון תרגיל 15:

הקואורדינטות של תל-אביב הן °32.0853 צפון, °34.7818 מזרח. הנקודה הנגדית לתל-אביב נמצאת ב-°32.0853 דרום, 146.2182° מערב, אי שם באוקיינוס השקט, מדרום לטהיטי וממערב לפיטקרן.

הקואורדינטות של מדריד הן °40.4167 צפון, °3.7038 מערב. הנקודה הנגדית למדריד היא °40.4167 דרום, °176.2962 מזרח, וסמוך לה נמצאים מפלי Waihi והיישוב Weber בניו זילנד.

פתרון תרגיל 16:

כן, מישור הכדור הוא מישור פרויקטיבי, משום שכל שני מעגלים גדולים נחתכים בשתי נקודות.

פתרון תרגיל 17:

יש 360 קווי אורך. הזווית בין קווי האורך °141 מזרח ל- °129 מזרח היא 12°.

פתרון תרגיל 18:

במשולש מימין כל הזוויות ישרות. סכום הזוויות הוא 270°.

במשולש השמאלי זוויות הבסיס הן בנות 90°, וזווית הראש בת 45°, ולכן סכום הזוויות במשולש הוא 225°.

פתרון תרגיל 19:

שטחו של S-משולש שכל זוויותיו בנות 90° הוא שמינית משטח הפנים של הכדור.

פתרון תרגיל 20:

כדור הארץ אינו שטוח. אף שנראה לנו שהמשולש שציירנו על הנייר זהה למשולש שציירנו על הקרקע, הם אינם זהים. ואולם ההבדל ביניהם מזערי, ואיננו מסוגלים להבחין בו בעין.

פתרון תרגיל 21:

שטח הפנים של כדור הארץ הוא בערך 510,065,600 קמ"ר. מכיוון שבקילומטר יש 1,000 מטר ובמטר יש 100 ס"מ, הרי בקילומטר יש 100,000 ס"מ. לכן ביחידות של סמ"ר, שטח כדור הארץ הוא בערך 5,100,656,000,000,000,000 סמ"ר.

לפי משפט 13, סכום הזוויות של S-משולש הוא. מכיוון ששטח המשולש הוא 50 סמ"ר, נקבל:

.

אנו רואים כי סכום הזוויות ב-S-משולש גדול אך במעט מ-180°.

2