תקצירי ההרצאות

פרופ' ירון אוסטרובר: נושאים בגיאומטריה אוקלידית: מדידות, פאונים, ומשחקי ביליארד

 

בהרצאה נסקור מספר נושאים קלאסיים בגיאומטריה אוקלידית.

בפרט נדון בקשר בין גיאומטריה ואסטרונומיה, בפאונים משוכללים, ובגופים הפלטונים (ידועים גם בתור "הגופים האפלטוניים").

במידה והזמן יאפשר, נדבר על ביליארדים מתמטים ועל שאלות פתוחות הקשורות בהם. 

 

 

ד"ר גלית אשכנזי: קבלת החלטות בסביבה אסטרטגית

 

מהי חשיבה אסטרטגית, ומהו האתגר שהיא מציבה? כיצד צפוי שאנשים ינהגו במצב אסטרטגי? כיצד מתכננים מנגנון שיגרום לאנשים להתנהג באופן רצוי? וכיצד משיבים טבעת לבעליה?

 

פרופ' שירי ארטשטיין-אבידן: גיאומטריה במימדים גבוהים

 

איזה אחוז מהשטח על שפתו של כדור נמצא קרוב מאד לקו המשווה? מסתבר שבמימדים גבוהים, כמעט כולו. לתופעה זו, שנקראת "ריכוז מידה", השפעות רבות על הגיאומטריה של מימדים גבוהים. נדון בתופעה זו ובתופעות אחרות הייחודיות למימדים גבוהים, נשאל איזו מין גיאומטריה אפשר ללמוד במרחבים ממימד גבוה, ואילו אתגרים עומדים כיום בפני חוקרים העוסקים בתחום זה.

 

מקורות:

 

·         K.M. Ball   Volumes of sections of cubes and related problems Lecture Notes in Mathematics 1376, Springer, Berlin, 251-260, 1989.

·         K.M. Ball    An elementary introduction to modern convex geometry, Flavors of Geometry, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 31, Cambridge Univ. Press, 1997.

·         R. J. Gardner  The Brunn-Minkowski inequalityת  Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (2002), 355-405.

·         R. J. Gardner   Geometric Tomography, Second Edition Encyclopedia of Mathematics and its Applications 58, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

·         A.A. Giannopoulos and V.D. Milman    Euclidean structure in finite dimensional normed spaces, Handbook of the Geometry of Banach spaces (Lindenstrauss-Johnson eds), Elsevier 707-779, 2001.

·         A.A. Giannopoulos and V. D. Milman   Asymptotic convex geometry: short overview, Different faces of geometry, 87-162, Int. Math. Ser.  3, Kluwer/Plenum, New York, 2004.

·         R. Schneiderת  Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory,

Second expanded edition. Encyclopedia of Mathematics and

Its Applications 151, Cambridge University Press, Cambridge, 2014.

 

 

 

ד"ר ניב בוכבינדר: מה כדאי, לקנות או לשכור?

 

מה כדאי לארוז בתרמיל לטיול? כמה זמן לחכות לאוטובוס מאחר? איך לחלק את עבודות המנהלה בין מורי בית הספר?

בעיות אלו ואחרות ניתן למדל כבעיות אופטימיזציה בהן אנו רוצים למזער את סך העלויות, או לחילופין למקסם את הרווח הכולל. בהרצאה זו נכיר בעיות מתחום האופטימיזציה, ונלמד כלים ורעיונות המשמשים לפתרונן.

מקורות:

  1. The Design of Approximation Algorithms, by David P. Williamson and David B. Shmoys Cambridge University Press.
  2. Online Computation and Competitive Analysis, by Allan Borodin and Ran El-Yaniv, Cambridge University Press.

 

פרופ' מלכה גורפיין: היבטים סטטיסטיים במודלים לניבוי סוגי סרטן שונים 

 

סרטן נגרם על ידי שינויים (מוטציות) בגנים. בעוד שרבים משינויים אלו מתרחשים במהלך החיים, חלק הם תורשה. מחקרים גנטיים זיהו מוטציות העוברות בתורשה, אשר מעלות את הסיכון לחלות בסרטנים מסויימים. לדוגמא, זוהו גנים המעלים באופן משמעותי את הסיכוי לסרטן שד, שחלה, לבלב, מלנומה ועוד. מרבית המוטציות הקשורות לסרטן אינן קובעות את גורלו של הפרט הנושא אותן. לכן, אפקטים גנטיים מתומצתים באופן הסתברותי בעזרת פונקציית חדירות (ההסתברות לחלות בסרטן מסויים עד גיל מסויים בהינתן מצב הנשאות הגנטי), ופונקציית הימצאות (שכיחות המוטציה באוכלוסיה). זיהוי פרטים שהינם בסיכוי גבוה לחלות בסרטן מסוג מסוים היא בעיה מורכבת אך חשובה ביותר לשיפור מדיניות בדיקות סקר ותוכניות מניעה. ישנם אלגוריתמים שונים לניבוי, המבוססים על גורמי סיכון ידועים, היסטוריה משפחתית וחלקם גם מבוססים על התורשה המנדליאנית. בהרצאה נכיר מספר מודלים לניבוי סוגי סרטן שונים ונשווה את מידת יעילותם.        

 

פרופ' דויד גילת: הבעיה השלישית של הילברט ופתרונה  - הבדל מהותי מפתיע בין שטח לנפח

 

מבין 23 הבעיות שהציג Hilbert בקונגרס הבינלאומי השני למתמטיקה שהתקיים בפריס בשנת 1900, זכתה הבעיה השלישית לפתרון המהיר ביותר, כמעט מיידי, על ידי תלמידו Max Dehn. בהציגו אינווריאנטה (שמורה) מתוחכמת של חפיפה בחלקים, הוכיח Dehn שטטראדר משוכלל וקוביה אינם חופפים בחלקים גם אם הם שווי נפח, כלומר, אי אפשר לחלק את הטטראדר למספר סופי של פאונים (גופים פוליאדריים) ולהרכיב מהם את הקוביה. תוצאה זו עומדת בניגוד מוחלט למצב הדברים במישור שבו, על פי משפט של Bolyai & Gerwien מ-1833, שני מצולעים שווי שטח חופפים בחלקים (עם חלקים שהם עצמם מצולעים). 

כאשר מרשים פירוק לחלקים כלליים ללא אילוצים מבניים, מועצם עוד יותר ההבדל המהותי בין מידת השטח במישור לבין מקבילתה, הנפח, במרחב התלת מימדי. בעוד שבמישור כל שתי צורות שוות שטח (בעלות שפה "סבירה" כמו, למשל, עיגול ורבוע) הן חופפות בחלקים (זו תוצאה מרחיקת לכת של Miklos Laczkovich שהוכחה ב-1990. את המקרה הפרטי של "רבוע העיגול" הוכיח לצ'קוביץ' כ-10 שנים מוקדם יותר במענה לשאלה שעורר Tarski ב-1925), הרי במרחב (תלת או יותר מימדי) קיימת התופעה המפתיעה הידועה כ"פרדוקס שלHausdorff, Banach & Tarski משנות ה-20 של המאה הקודמת, שלפיה (אל תפלו מהכסא) כל כדור חופף בחלקים לכל כדור אחר. כן, כן, בעיקרון קיימת חלוקה של, למשל, כדורגל למספר סופי של חלקים שמהם ניתן להרכיב כדור בגודל כדור-הארץ שלנו. הסוד של תופעה לכאורה אבסורדית זו הוא באופיים של ה"חלקים" שהם בהכרח קבוצות מאד מסובכות, עד כדי כך מסובכות שעקרונית אין כלל אפשרות ליחס להן מידת נפח באופן קונסיסטנטי. הרצאתי תתמקד במשפט Bolyai & Gerwien ובפתרון של Dehn לבעיה השלישית של הילברט. אם הזמן יאפשר, נדון בקצרה בהתפתחויות המאוחרות יותר. 

מקורות:

 

  • V.G. Boltyanskii, Equivalent and Equidecomposable Figures, Published by Heath & Company Boston for the Chicago University Math. Dept, 1963.
  • Miklos Laczkovich, CONJECTURE and PROOF, Math. Assoc. of America (MAA), 2001.

פרופ' רות הלר :הסקה סיבתית - מטעימות תה ועד לחיסוני פוליו

ניסויים ומחקרים תצפיתיים נערכים בכדי להחליט האם הגורמים הנחקרים משפיעים על התוצאה. בהרצאה זו נדון בעקרונות התכנון והניתוח של ניסויים ומחקרים תצפיתיים.  נדון בתפקיד המרכזי של ההקצאה האקראית בהסקה סיבתית. נראה דוגמאות של ניסויים שנערכו לבדיקת יעילות חיסון נגד פוליו ויעילות תרופה מונעת לבעיות לב, ומחקרים תצפיתיים שנערכו לבדיקת נזקי העישון ונזקי מים מזוהמים.

מקורות:

 

  • ·         Fisher, R.A, The design of experiments. Edinburgh: Oliver and Boyd, 1935. 
  • ·         Rosenbaum, P. Observational studies. Springer, 2002. 

 

 

פרופ' ברק וייס: בעיית דחיסת הכדורים

 

בהרבה מצבים יומיומיים מתעורר הצורך לדחוס הרבה כדורים בחלל קטן וכמעט כל מי שנתקל בבעיה זו מגיע במהרה לפתרון שבאמצעותו הכדורים ממלאים כ-74% מהחלל. בשנת 1611 שיער האסטרונום יוהאנס קפלר שזוהי הדרך היעילה ביותר לדחוס כדורים במרחב. ההוכחה של השערה הזו התבררה כקשה ביותר, ולאחר שנים של מאמצי שווא והוכחות שגויות, ניתנה הוכחה מלאה רק בתחילת המאה הנוכחית, כאשר חלק מההוכחה נשען על חישובי מחשב. אדבר על החשיבות של ההוכחה של טענה שנכונותה נראית ברורה מאליה, על הערך של הוכחות שניתנות באמצעות מחשב ולכן קשות לבדיקה. אספר גם על ההכללות של בעיית הדחיסה למימדים גבוהים, ושימושים מפתיעים בתקשורת דיגיטלית.

 

ד"ר ענת סאקוב: מציאת התרופה הבאה - סטטיסטיקה בתעשיית התרופות

 

תהליך פיתוח תרופת מקור (חדשנית) יכול לקחת כ- 15 שנים, מתוכן לא מעט שנים בניסויים קליניים. בשלבים המתקדמים של הניסויים הקליניים משתתפים מאות עד אלפי חולים בעשרות מרכזים רפואיים בעולם לתקופה לא קצרה בניסוי שעלותו עשרות רבות של מיליוני דולרים. לתכנון הניסוי יש חשיבות רבה עם אתגרים לא פשוטים. בהרצאה זו תינתן סקירה של מספר עקרונות ושיטות סטטיסטיים וכיצד הם באים לידי ביטוי בתכנון הניסויים הקליניים וניתוח התוצאות.

 

 

 

פרופ' אילון סולן: שידוכים יציבים

 

בהרצאה זו אציג את נושא תורת המשחקים תוך מתן דגש לאחד היישומים החשובים שלו - שידוכים יציבים. תחום זה מיושם בהצלחה בארצות הברית ובבריטניה להשמת סטודנטים לרפואה בהתמחויות, ואחד היישומים שנבדקים לו בתקופנ נאחרונה הוא התאמה בין תורמי כליות לנזקקים להשתלה.

בהרצאה אציג את המודל של שידוכים יציבים, אגדיר את המושגים "שידוך", "ערעור על שידוך" ו-"שידוך יציב", אתאר את אלגוריתם גייל-שפלי המוצא שידוך יציב ואוכיח כי האלגוריתם אכן מוצא שידוך כזה. אתאר את "תהליך חיזור הגברים" ואת "תהליך חיזור הנשים", אעמוד על ההבדלים בין השידוכים היציבים שהם מוצאים ואדון ביחס הסדר בין השידוכים היציבים. אסביר מה קורה כאשר סטודנט אינו מעוניין בכל המשרות המוצעות, ומה קורה כאשר בית חולים מציע יותר ממשרה אחת. בנוסף, נראה שקבוצת כל הסטודנטים שנותרים ללא עבודה אינה תלויה בשידוך היציב שנבחר, ונעמוד על ההבדלים בין אוכלוסייה דו-מינית לאוכלוסייה חד-מינית, כגון זו המתקבלת כאשר מצוותים שוטרים לניידות או סטודנטים לחדרים במעונות.

מקורות:

·         "תורת המשחקים" מאת שמואל זמיר, מיכאל משלר ואילון סולן, הוצאת מאגנס, 2008.

 

 

ד"ר דורון פודר בן נעים: ספירה ומספרים על פי טרומפלדור

 

נושא השיעור הוא ספירה בבסיס 5, כלומר בבסיס מספר האצבעות בידיו של טרומפלדור. לחמישייה נקרא "חמסה" ולחמישיית חמשיות נקרא "בינגו".

אחרי שנסביר איך חושבים בבסיס זה ואיך כותבים מספרים בבסיס זה, נתנסה בתרגילים בפעולות חשבון בסיסיות, בשברים פשוטים ו"חמסיים", באחוזים וגם בסימני חלוקה במספרים חמסיים. למשל: איך ניתן לקבוע אם מספר הוא זוגי? מתחלק ב-3?

 

פרופ' גדי פיביך: מאוילר ועד פייסבוק – המתמטיקה של רשתות חברתיות

 

אוילר הוא ככל הנראה המתמטיקאי הפורה ביותר בכל  הזמנים. בין היתר, הוא ניסח ופתר את בעיית הגשרים של קניגסברג (שאיתה נפתח את ההרצאה), ובכך ייסד תחום חדש במתמטיקה – תורת הגרפים. בהמשך ההרצאה נסקור את אחד היישומים החמים כיום של תורת הגרפים, שהוא המידול המתמטי של רשתות חברתיות.

מקורות:

  1.  קישורים - המדע החדש של רשתות – מאת אלברט-לסלו ברבאשי. הוצאת פרוזה עיון
  2. Six Degrees: The Science of a Connected Age, by Duncan J. Watts

 

פרופ' יהודה שלום:

 

למרות ההומאז' לרב המכר הידוע, בהרצאה נתעניין ברציונאליות של מספרים, ולא של אנשים. כזכור, מספר נקרא רציונאלי אם הוא שבר במובן הרגיל, ז"א, הוא מנה של שני מספרים שלמים. כבר היוונים גילו לתדהמתם שהשורש הריבועי של 2 אינו רציונאלי, ואנו נסביר זאת בהרצאה. נדון בתוצאה דומה עבור שני הקבועים החשובים ביותר במתמטיקה ובמדע, \pi , e ונתעניין גם בהכללה של מושג הרציונאליות למושג האלגבריות של מספרים.

כאשר מספר אינו רציונאלי, עד כמה ניתן לקרב אותו ביעילות ע"י מספרים רציונאליים? בהרצאה נבין כיצד לנסח במדוייק שאלה זו, המובילה לבעיות מעניינות וחשובות.

 פתרונה של אחת מהן, אותה נתאר, זיכה בשנת 1958 את קלאוס רות' בפרס החשוב ביותר במתמטיקה -- מדליית פילדס.

 

אוניברסיטת תל-אביב, ת.ד. 39040, תל-אביב 6997801
UI/UX Basch_Interactive